¿Qué es una Integral Definida?

Integral Definida

     La integral definida está definida como un límite. Este límite puede calcularse con las fórmulas de integración inmediata. Para calcular el valor de la integral definida evaluamos primero el límite superior y después el límite inferior. La diferencia entre estos valores es el valor de la integral definida.

     La integral definida es uno de los conceptos fundamentales del Análisis Matemático.

     La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b (bajo la hipótesis de que la función f es positiva). Esta integral se representa por:

a es límite inferior de la integración y b es límite superior de la integración.

     Si la función F es una función primitiva de f en el intervalo [a,b], por la Regla de Barrow se tiene que:

Gráficas de una Integral Definida    Ejemplo 

Características de una Integral Definida

• El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

• Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

• Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

• La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Propiedades de la Integral Definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

                                                    

• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

                                                            

Regla de Barrow

¿Qué es la regla de Barrow?

     La regla de Barrow, deriva de el teorema fundamental del cálculo directamente, por ello puede ser​ denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

¿Cómo se aplica?

     La integral definida de un función  entre  y  se expresa de la forma  , donde  y  son los límites de integración. Se calcula mediante la Regla de Barrow:

     Suponemos que  es una función continua en el intervalo  y  es una primitiva de .

    Para aplicar la Regla de Barrow, calculamos una primitiva  sin constante de integración, y la aplicamos a los limites de integración (calculamos  y ). Finalmente calculamos la resta .

Para consultar la fuente hacer "click aquí"

A continuación se presentan algunas gráficas que son posibles gracias a esta regla:

Gráfica #1

La Regla de Barrow

Teorema Fundamental del Cálculo

¿Qué es?

     El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo infinitesimal.

     El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral de la función continua 

es la propia .

 

     El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Gráficas de el Teorema Fundamental del Calculo

Gráfica #1

Gráfica #2

Se pueden verificar algunos ejemplos en el siguiente "Enlace".

Teorema de la media o valor medio para integrales

Teorema del valor medio del cálculo integral

      El teorema del valor medio del cálculo integral dice así:

     Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces existe al menos un punto c, dentro de ese intervalo que cumple lo siguiente:

¿Qué quiere decir esto? Vamos a verlo

     Si tenemos una función definida en un intervalo [a,b], el área limitada por la función y los rectas x=a y x=b es la siguiente:

     Pues bien, existe un punto c, entre los puntos a y b, donde la función en ese punto tiene un valor de f(c):

     Se puede formar un rectángulo cuya base es la longitud del intervalo [a,b], es decir, b-a y la altura es la longitud correspondiente al valor de la función en el punto c, es decir f(c)

     El área de este rectángulo es igual al área encerrada por la función y los puntos de abcisa a y b, por lo que:

     Donde (b-a).f(c) corresponde al área del triángulo y f(c) corresponde al valor medio de la función f(x) en ese intervalo (o también lo puedes encontrar como altura media) y el punto c es el punto donde se alcanza dicho valor.

     Para poder ver Ejemplos respecto a este tema, se presentan en el enlace a continuación:
"PULSA AQUÍ"

Función Integral

     Sea  una función continua en el intervalo .

     A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.

     Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de , se la llama , pero si la referencia es a la variable de , se la llama .

     Geométrica mente la función integral, , representa el área del recinto limitado por la

curva , el eje de abscisas y las rectas  y .

     A la función integral, , también se le llama función de áreas de  en el intervalo .

Gráficas

Gráfica #1